Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设；
（Ⅲ）设，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵2=a_n+1，
∴，
∴a _n+1=S _n+1﹣S_n=﹣=，
即：2（a _n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n），
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n﹣2）=0，
∵a_n＞0，∴a _n+1+a_n＞0，
∴a_n+1﹣a_n﹣2=0，
∴a _n+1﹣a_n=2，
当n=1时，S₁=，即a₁=，
∴，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公差d=2的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：a_n=a₁+（n﹣1）d=2n﹣1，
∵=，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=，   ①
=，                            ②
①﹣②得：==，
∴．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得：=，
∴==，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=
                              =，
故，．