Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n 为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式和T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2可得

a12=S1 a22=S3

即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（法二）∵{a_n}是等差数列，
∴

a1+a2n-1

2

=an
∴S2n-1=

a1+a2n-1

2

×(2n-1)=（2n-1）a_n
由a_n²=S_2n-1，得a_n²=（2n-1）a_n，
又a_n≠0，
∴a_n=2n-1
∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（Ⅱ）∵T₁=

1

3

，T_m=

m

2m+1

，T_n=

n

2n+1

若T₁，T_m，T_n，成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

法一：由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

可得，

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0
即-2m²+4m+1＞0
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n，成等比数
法二：∵

n

6n+3

=

1

6+ 3 n

＜

1

6

∴

m

4m2+4m+1

＜

1

6

∴2m²-4m-1＜0
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n，成等比数