Question

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB）为2m，在圆环上设置三个等分点A₁，A₂，A₃．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A₁，A₂，A₃，B均用细绳相连接，且细绳CA₁，CA₂，CA₃的长度相等，求细绳总长y的最小值，并求出此时BC的长度．

Answer 1

分析：在RT△COA₁中，设∠OA₁C=θ，则CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，CB=2-2tanθ＞0，即可表示出y，利用导数得出其单调性即可求出．

解答：解：在RT△COA₁中，设∠OA₁C=θ，则CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，
∵y=3CA₁+CB=

6

cosθ

+2-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+2(0＜θ＜

π

4

)，
∴y′=2×

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

2(3sinθ-1)

cos2θ

，
令y^′=0，则sinθ=

1

3

．
当sinθ＞

1

3

时，y^′＞0；sinθ＜

1

3

时，y^′＜0，
∵y=sinθ在[0，

π

4

]上是增函数，
∴当角θ满足sinθ=

1

3

时，y最小为4

2

+2；此时BC=2-

2

2

m．

点评：正确表示出y，及熟练利用导数研究函数的单调性是解题的关键．