Question

已知函数，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，设x为f（x）的极小值点，x₁为g（x）的极值点，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，将点（x，f（x）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次记为A，B，C，D．
（1）求x的值；
（2）若四边形APCD为梯形且面积为1，求a，d的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对函数f（x）进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x的值；
（2）讨论满足g′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x₁的值，再根据x₂，x₃是g（x）=0的两个根求出x₂，x₃，然后分别求出A，B，C，D四个点的坐标，由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD，以及四边形APCD为梯形且面积为1建立两个等量关系即可求得a，d的值．
解答：解：（1）f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d），
令f′（x）=0，
由a≠0得x=-1或
∵a＞0，d＞0．
∴
当时，f′（x）＜0，
当x＞-1时f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-1处取极小值，即x=-1
（2）解：g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d
∵a＞0，x∈R
∴g（x）在处取得极小值，即
由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0
∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃
∴
∵

∴，，，D（-1，0）
由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD．
即a²=12d²
由四边形ABCD的面积为1，得
即得d=1，
从而a²=12得a=，d=1
点评：本小题考查多项式函数的导数，函数极值的判定，二次函数与二次方程等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力．