Question

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，

求证：g(x)的极大值小于等于10．

Answer 1

本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，

同时考查抽象概括、运算求解能力和创新意识。满分15分。

 (Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

         列表如下：

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f (x)的极小值为f (2)＝．…………………………………6分

 (Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，

所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．

而g ′ (x)＝12x²＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，

所以，

即b＝－2(a＋1)．

又因为1＜a≤2，

所以  g(x)_极大值＝g(1)

＝4＋3b－6(b＋2)

＝－3b－8

＝6a－2

≤10．

故g(x)的极大值小于等于10．…………………………15分