Question

如图，正四面体ABCD的棱AB、AC、AD、BD的中点为K、L、M、N，利用向量证明：

(1)AB⊥CD;(2)KLNM.

Answer 1

证明:正四面体的棱长都相等，|a|=|b|=|c|.

(1) ·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|cos60°-|a||b|cos60°=0,

∴⊥，即AB⊥CD.

(2)=b-a=(b-a),

=-=(b-c)-(a-c)=(b-a).∴KLNM.