Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，Sn=

1

2

an+1(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃．
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）令n=1，得到S₁=a₁=

1

2

a₂，由a₁=1，得到a₂=2，
令n=2，得到S₂=a₁+a₂=

1

2

a₃，
则a₃=2（1+2）=6；（3分）
（2）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列S_n是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．（5分）
当n≥2时，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

；（8分）
（3）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2①，
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1②，
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1
=-1+（1-2n）•3^n-1．
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n≥2)．
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．（14分）