Question

已知函数f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常数
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的定义域，就是）求x+

a

x

-2＞0，可以通过对a分类讨论解决；
（2）可以构造函数g(x)=x+

a

x

-2，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，转化为a是x的函数，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0
     解得a＞1时，定义域为（0，+∞）
     a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
     0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

}
（2）设g(x)=x+

a

x

-2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，
    g′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g(x)=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函数，
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上是增函数，
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上的最小值为f(2)=lg

a

2

；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
   即x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（2）=2，∴a＞2

点评：本题考查函数恒成立问题，（1）着重考查分类讨论思想；（2）着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；（3）着重考查分离参数法，是一道好题．