Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-ax²-3x+1
（1）当a=1时，y=f（x）在x=1处切线与坐标轴围成的三角形面积．
（2）若y=f（x）在（-1，1）上为减函数．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，然后求出三角形的面积即可．
（2）要使函数在（-1，1）上为减函数．则f'（x）≤0恒成立．

解答：解：（1）函数的导数为f'（x）=2x²-2ax-3，当a=1时，f'（x）=2x²-2x-3，
所以当x=1时，f'（1）=2-2-3=-3，f（1）=-

7

3

，
所以y=f（x）在x=1处切线方程为y+

7

3

=-3(x-1)，即9x+3y-2=0．
当x=0时，y=

2

3

．
当y=0时，x=

2

9

，
所以三角形的面积为

1

2

×

2

3

×

2

9

=

2

27

．
（2）要使函数在（-1，1）上为减函数．则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=2x²-2ax-3≤0，即

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，即

2a-1≤0 -2a-1≤0

，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数的单调性与导数之间的关系，比较综合．