Question

【题目】函数，.

（1）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；

（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据零点存在性定理，首先证明函数的单调性，再证明存在区间使 即证明；求函数的最大值，先求函数的导数求导函数的零点，并判断零点两侧的单调性，即可求得函数的最大值；（2）不等式等价于，然后参变分离为 ，利用导数分析函数 以及函数，根据所分析函数性质，当时，只有2个正整数解，求的取值范围.

试题解析：（1）证明：由题意知，

于是

令，，

∴在上单调递减.

又，

所以存在，使得，

综上存在唯一零点.

解：当，于是，在单调递增；

当，于是，在单调递减；

故，

又，，，

故.

（2）解：等价于.

，

令，则，

令，则，即在上单调递增.

又，

∴存在，使得.

∴当在上单调递增；

当在上单调递减.

∵，，

且当时，，

又，，

故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为