Question

【题目】设二次函数满足下列条件：当时，的最小值为0，且成立；当时，恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若对，不等式恒成立、求实数的取值范围；

（3）求最大的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9.

【解析】

（1）由知函数图象的对称轴是，最小值为0，因此顶点为，这样函数解析式可写为，在不等式令得，从而有，由此可求得；

（2）不等式化为，当时，应有，当，应有．由此可得的取值范围；

（3）由，即的图象与直线切于点，因此把的图象向右平移，就有一部分满足，由此可找到的最大值．

解：（1）由题意，函数的顶点坐标为，

解析式可设为，

又，∴，∴，∴，

经检验，当时，恒成立，

∴函数解析式为.

（2）不等式变形为：，

令，对称轴为，

当即时，在上单调增，∴，解得，∴.

当时，，解得，

∴.

综上所述.

（本小问也可用分离参数的方法来求）

（3）当时，与相切于点，向右平移的过程中，

令与相交于两点和（在左），

由图可知，当点与重合时，点的横坐标即为的最大值.

此时，得或-4，∴.

消去得：，解得或9，

∴的最大值为9.