Question

已知函数f(x)=cos2x，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式整理，进而求得x₀，代入到g（x）中求得答案．
（2）把f（x）和g（x）的解析式相加，利用二倍角公式和两角和公式化简整理求得函数h（x）的解析式，利用x的范围和正弦函数的单调性求得函数的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²x=

1

2

+

1

2

cos2x
∴2x₀=kπ，k∈Z，
∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x₀=1+

1

2

sin2kπ=1

（2）∵h（x）=f（x）+g（x），
∴h（x）=cos²x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1
∴2≤

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

≤

3+ 2

2

∴函数h（x）的值域为[2，

3+ 2

2

]

点评：本题主要考查了三角函数最值问题，二倍角公式的化简求值等．考查了学生基础运算的能力和综合运用所学知识的能力．