题目内容
已知函数f（x）=e-x（x2-2ax+4a-3），其中a∈R．（Ⅰ）若a=1，试求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅱ）对于?a∈(0，
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| e3 |
分析：（Ⅰ）当a等于1时求函数的导数，根据导数求函数的极值，画出表格，求出单调区间
（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据导数求函数的极值，设h（a）=g（2a-1），再根据零点存在定理证明函数的零点个数
（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据导数求函数的极值，设h（a）=g（2a-1），再根据零点存在定理证明函数的零点个数
解答：解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=e-x（x2-2x+1），
∴f'（x）=-e-x（x-1）（x-3），
由此可知
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，3）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（3，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数
故函数发f（x）的单调递增区间是（1，3），极大值f(3)=
，极小值是f（1）=0．
（Ⅱ）证明：∵a∈(0，
)，∴g(-2)=e2(8a+1)-
＞e2-
＞0g(3)=e-3(6-2a)-
=
＞0
而g'（x）=-e-x[x-（2a-1）]（x-3），由于（2a-1）∈（-2，3）
故g（x）在（-2，3）有极小值（也是最小值）g(2a-1)=e1-2a(2a-2)-
设h（a）=g（2a-1），则h'（a）=-2e1-2a（2a-3），由于a∈(0，
)
∴h'（a）＞0，h（a）在(0，
)上是增函数，h(a)＜h(
)=
-
=
＜0
由零点存在定理知，函数g（x）在（-2，2a-1）和（2a-1，3）内各有一个零点
故函数g(x)=f(x)-
在区间（-2，3）上有两个零点．
∴f'（x）=-e-x（x-1）（x-3），
由此可知
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，3）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（3，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数
| x | （-∞，1） | 1 | （1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 4 |
| e3 |
（Ⅱ）证明：∵a∈(0，
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| e3 |
| 3 |
| e3 |
| 3 |
| e3 |
| 3-2a |
| e3 |
而g'（x）=-e-x[x-（2a-1）]（x-3），由于（2a-1）∈（-2，3）
| x | （-2，2a-1） | 2a-1 | （2a-1，3） | 3 |
| g'（x） | - | 0 | + | 0 |
| g（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 |
| 3 |
| e3 |
设h（a）=g（2a-1），则h'（a）=-2e1-2a（2a-3），由于a∈(0，
| 5 |
| 4 |
∴h'（a）＞0，h（a）在(0，
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 1 | ||
2e
|
| 3 |
| e3 |
e
| ||
| 2e3 |
由零点存在定理知，函数g（x）在（-2，2a-1）和（2a-1，3）内各有一个零点
故函数g(x)=f(x)-
| 3 |
| e3 |
点评：该题考查函数的求导，利用导数求函数的极值和单调性，会使用零点存在定理，求零点的个数，注意在解答过程中要画上表格，注意零点存在的范围
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