Question

在等式

4

x

+

9

y

=-m中，x＞0，y＞0，若x+y的最小值为

5

6

，则m的值为

 

．

Answer 1

分析：等式

4

x

+

9

y

=-m中，x＞0，y＞0知m＜0，x+y=（x+y）×

1

-m

(

4

x

+

9

y

)=

1

-m

（13+

4y

x

+

9x

y

）用基本不等式求出用m表示的最小值，令其等于

5

6

，即可得到 m的方程，求解即可．

解答：解：由已知等式

4

x

+

9

y

=-m中，x＞0，y＞0，得m＜0
又x+y=（x+y）×

1

-m

(

4

x

+

9

y

)=

1

-m

（13+

4y

x

+

9x

y

）
∴x+y≥

1

-m

（13+2

4y x × 9x y

）=

1

-m

（13+12）=

25

-m

又x+y的最小值为

5

6

，
∴

25

-m

=

5

6

，解得m=-30，
故答案为-30．

点评：本题利用基本不等式等号成立的条件建立关于参数的方程来求参数，属于基本不等式的逆用，题型新颖．