Question

已知实系数方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则

b

a

的取值范围是

(-

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，设椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂．
则0＜e₁＜1＜e₂．由已知e₁，e₂是方程f（x）=0的两个零点．满足

f(0)=1+a+b＞0 f(1)=3+2a+b＜0 - 1+a 2 ＞0

，
如图所示，C（-2，1）．设b=ka，则-2＜k＜k_OC．

解答：解：令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，设椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂．
则0＜e₁＜1＜e₂．
∵e₁，e₂是方程f（x）=0的两个零点．则

f(0)=1+a+b＞0 f(1)=3+2a+b＜0 - 1+a 2 ＞0

，
如图所示，C（-2，1），点A为可行域内一点．
设b=ka，∵k_OC=-

1

2

，-2＜k_OA＜k_OC．
∴

b

a

=k的取值范围是(-2，-

1

2

)．
故答案为(-2，-

1

2

)．

点评：熟练掌握椭圆离心率的取值范围、线性规划的有关知识、斜率计算公式等是解题的关键．