题目内容
如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，
．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．（Ⅰ）设
，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．
【答案】分析：（I）作PN⊥AB，N为垂足，由
．
，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速
（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
解答：
解：（Ⅰ） 如图，作PN⊥AB，N为垂足．
，
，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=
（km），
QN=PQcosθ=
（km）．
在Rt△PNM中，
（km）．…（3分）
设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，
小船的速度为v1km/h，则
（h），
（h）． …（5分）
由已知得：
，
，
∴
．…（7分）
∴小船的速度为
km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，
（km），
（km）．
∴
（km）． …（9分）
∴
=
．…（11分）
∵
，…（13分）
∴令t'=0得：
．
当
时，t'＞0；当
时，t'＜0．
∵cosα在
上是减函数，
∴当方位角α满足
时，t最小，
即游客甲能按计划以最短时间到达Q．…（15分）
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．
．
，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
解答：
解：（Ⅰ） 如图，作PN⊥AB，N为垂足．
，
，在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=
（km），QN=PQcosθ=
（km）．在Rt△PNM中，
（km）．…（3分）设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，
小船的速度为v1km/h，则
（h），
（h）． …（5分）由已知得：
，
，∴
．…（7分）∴小船的速度为
km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．（Ⅱ）在Rt△PMN中，
（km），
（km）．∴
（km）． …（9分）∴
=
．…（11分）∵
，…（13分）∴令t'=0得：
．当
时，t'＞0；当
时，t'＜0．∵cosα在
上是减函数，∴当方位角α满足
时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q．…（15分）
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
（2008•江苏二模）如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，
如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，
．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．
，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，
．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．
，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；