Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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2

，且f（

1

2

）=0，当x＞

1

2

时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令y=x=

1

2

即可求得f（1）的值；
（2）由当x＞

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2

时，f（x）＞0，结合给出的等式得到当x＞0时，f（x）＞-1，然后利用函数单调性定义，借助于题目给出的等式判断．

解答：解：（1）由对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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，且f（

1

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）=0，
令y=x=

1

2

，得f（1）=f（

1

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）+f（

1

2

）+

1

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=

1

2

；
（2）设x＞0 则x+

1

2

＞

1

2

．
∴f(x+

1

2

)=f(x)+f(

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2

)+1＞0
即f（x）＞-1
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂
则x₁-x₂＞0
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查抽象函数奇偶性和单调性，考查了利用特值法求函数的值，这类问题用赋值法和性质的定义比较常见，属于中档题．