Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF₂为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P(1，

3

2

)．可得

c=1 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）假设存在符合条件的点M（x₀，y₀），设直线l的方程为x=my-1，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互垂直的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程若有解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P(1，

3

2

)．
∴

c=1 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x₀，y₀），
设直线l的方程为x=my-1，
由

x=my-1 3x2+4y2=12

得：（3m²+4）y²-6my-9=0，
△=36m²+36（3m²+4）＞0，
∴y1+y2=

6m

3m2+4

，
∴AB的中点为(-

4

3m2+4

，

3m

3m2+4

)，
∵四边形AMBF₂为平行四边形，∴AB与MF₂的中点重合，即：

x0+1 2 =- 4 3m2+4 y0 2 = 3m 3m2+4

∴M(-

3m2+12

3m2+4

，

6m

3m2+4

)，
把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m⁴-24m²-80=0
解得m2=

20

9

，
∴存在符合条件的直线l的方程为：y=±

3 5

10

(x+1)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、平行四边形的性质、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．