Question

已知F是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左焦点，B₁B₂是双曲线的虚轴，M是OB₁的中点，过F，M的直线交双曲线C于点A，且

FM

=2

MA

，则双曲线C的离心率是

5

2

．

Answer 1

分析：设A（x₀，y₀），由题设知M（0，

b

2

），F（-c，0），故

FM

=(c，

b

2

)，

MA

=(x0，y0-

b

2

)，由

FM

=2

MA

，解得x0=

c

2

，y₀=

3

4

b，把A（

c

2

，

3

4

b）代入双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，能够求出双曲线C的离心率．

解答：解：设A（x₀，y₀），
由题设知M（0，

b

2

），F（-c，0），
∴

FM

=(c，

b

2

)，

MA

=(x0，y0-

b

2

)，
∵

FM

=2

MA

，
∴c=2x

0

，

b

2

=2(y0-

b

2

)，
解得x0=

c

2

，y₀=

3

4

b，
∵A（

c

2

，

3

4

b）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)上，
∴

c2 4

a2

-

9 16 b2

b2

=1，
∴

c2

a2

=

25

4

，
∴双曲线C的离心率e=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量性质的灵活运用．