Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在t∈N^*，使得方程f(x)+

37

x

=0在区间（t，t+1）内有两个不等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可设f（x）=ax（x-5）=ax²-5ax，（a＞0）．
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是：f′（1）=-3a=-6．
∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）方程f(x)+

37

x

=0等价于方程 2x³-10x²+37=0．
设h（x）=2x³-10x²+37，则h'（x）=6x²-20x=2x（3x-10）．
在区间x∈（0，

10

3

）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
在区间（-∞，0），或（

10

3

，+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（

10

3

）是极小值．
∵h（3）=1＞0，h（

10

3

）=-

1

27

＜0，h（4）=5＞0，
∴方程h（x）=0在区间（3，

10

3

），（

10

3

，4）内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．
而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．
画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．
所以存在惟一的正整数t=3，使得方程f（x）+

37

x

=0在区间（t，t+1）内有且只有两个不同的实数根．