Question

已知函数，．

当时，求的单调区间；

对任意正数，证明：．

Answer 1

解：当时，，求导得 ，

于是当时，；而当 时，．

即在中单调递增，而在中单调递减．     

（2）对任意给定的，，由 ，

若令 ，则   … ① ，    …  ②

（一）先证；因为，，，

又由  ，得 ．

所以

．

（二）再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

（Ⅰ）当，则，所以，因为 ，

，此时．

 （Ⅱ）当 …③，由①得 ,，，

因为   所以   … ④

 同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

今证明   …  ⑦, 因为  ，

只要证  ，即 ，也即 ，据③，此为显然．

 因此⑦得证．故由⑥得 ．

综上所述，对任何正数，皆有．