Question

两条直线分别被三个互相平行的平面所截，求证：被截得的线段成比例．如图，已知平面α∥β∥γ，直线a分别交α、β、γ于A、B、C，直线b分别交α、β、γ于D、E、F．

求证：AB∶DE＝BC∶EF．

Answer 1

答案：
解析：

解：当a、b共面时，如上图(1)，设a、b确定的平面为δ， 　　则AD、BE、CF分别为α、β、γ与δ的交线． 　　由α∥β∥γ，知AD∥BE∥CF． 　　由平行截割定理，知AB∶DE＝BC∶EF(当AD、BE、CF中有一条变成一点时，也不影响结果)． 　　当a、b异面时，如上图(2)，过A作直线c∥b，分别交β、γ于B1、C1． 　　由α∥β，知AB1＝DE． 　　同理B1C1＝EF． 　　设a、c确定的平面为δ，则BB1、CC1分别是δ与β、γ的交线． 　　由β∥γ，知BB1∥CC1． 　　由平行截割定理，知AB∶AB1＝BC∶B1C1． 　　已知AB1＝DE，B1C1＝EF，故AB∶DE＝BC∶EF． 　　方法归纳：空间问题应转化为平面问题解决，线段成比例一般考虑平行截割定理．此题也可以连结AF，交平面β于M，将其转化为平面问题解决．

提示：

本命题是由平行截割定理扩展来的，因此想到转化为平行截割定理去证．由条件知三个平面互相平行，但原题中没有平面与它们相交，需作出与它们相交的平面．被截的两直线可能异面，也可能共面，所以需分类讨论．