Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁.

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）设c_n=,求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer 1

（1）a_n= 4n-2，b_n=2·^n-1（2）T_n=-·4ⁿ

解析:

（1）由于S_n=2n²,∴n=1时，a₁=S₁=2；

n≥2时，a_n=S_n-S_n-1??=2n²-2(n-1)²=4n-2,

当n=1时也适合.

∴a_n=4n-2，∴b₁=a₁=2，b₂（6-2）=b₁=2，

∴b₂=，∴b_n=2·^n-1.

（2）c_n==（2n-1）·4^n-1，

∴T_n=1+3·4+5·4²+…+（2n-1）·4^n-1，

∴4T_n=4+3·4²+…+（2n-3）·4^n-1+（2n-1）·4ⁿ，

∴-3T_n=1+2·4+2·4²+…+2·4^n-1-（2n-1）·4ⁿ

=1+2·-（2n-1）·4ⁿ=·4ⁿ-，

∴T_n=-·4ⁿ.