Question

已知函数f（x）=3sin²x+2sinxcosx+cos²x-2．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为

2

sin(2x-

π

4

)，从而求得f(

π

4

)的值．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式为

2

sin(2x-

π

4

)，从而求得函数f（x）的最小正周期；再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

求得x的范围，可得函数的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）依题意f（x）=2sin²x+sin2x-1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．
则f(

π

4

)=

2

sin(2×

π

4

-

π

4

)=1．
（Ⅱ）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
则函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．