Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，当x=

π

2

时，f（x）取得最小值-2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=-1，

AB

•

AC

=6，求边BC的最小值．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数的最值求出A=2，根据函数f（x）的周期求出ω，再由当x=

π

2

时，f（x）取得最小值-2，
求出φ，从而得到f（x）的解析式．
（Ⅱ） f（A）=-1 求得A，再由

AB

•

AC

=6，进一步确定A的值，利用余弦定理求出边BC的最小值．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，A=2，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω=

2π

π

=2．（3分）
又2sin(2×

π

2

+φ)=-2，∴φ=

π

2

+kπ(k∈Z)，∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，（5分）
∴f(x)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x．（6分）
（Ⅱ）∵f(A)=cos2A=-

1

2

，0＜2A＜2π，∴A=

π

3

，或A=

2π

3

．（8分）
又

AB

•

AC

=6，即|

AB

|•|

AC

|cosA=6＞0，∴A=

π

3

，|AB|•|AC|=12．（9分）
∵|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB|•|AC|cosA=|AB|²+|AC|²-|AB|•|AC|≥|AB|•|AC|=12，
∴BC的最小值为2

3

．（12分）

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，两个向量的数量积的定义，三角函数的最值、余弦定理的应用，
求出函数的解析式，属于中档题．
是解题的突破口．