Question

已知函数f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1．
（1）求使函数取得最大值的集合；
（2）求函数的单调减区间；
（3）指出函数的图象可由y=sinx的图象经过哪些变换而得到．

Answer 1

（1）因为f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1
=cos

x

2

+

3

sin

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，…（2分）
所以：当sin(

x

2

+

π

6

)=1时，函数取得最大值2，…（4分）
令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，得x=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
即使函数取得最大值的集合是{x|x=4kπ+

2π

3

，k∈Z}．…（6分）
（2）令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z，
所以；函数的单调减区间为[4kπ+

2π

3

， 4kπ+

8π

3

]，k∈Z．…（10分）
（3）将的图象上每一点向左平移

π

6

个单位长度，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）．
或：将的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移

π

3

个单位长度，
再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）．…（14分）