Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N*，数列{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b₄=9，b₂·b₃=8。
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n。

Answer 1

解：（1）当n=1时，2a₁=1+a₁a₁=1，
当n≥2时，2S_n=n+na_n，①

①-②得
∴
④-③得
即当n≥2时，
又S₂=3，a₁=1a₂=2，
∴{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n
设{b_n}的公比为q，则b₁=1，q=2或b₁=8，（舍去），
∴。
（2）由（1）得
 

∴-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n·2ⁿ

∴T_n=（n-1）·2ⁿ+1。