题目内容
（2013•虹口区二模）设an=logn+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…ak为整数的k为“希望数”，则在
内所有“希望数”的个数为
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9
9
．分析：先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-2，进而由2n-2＜2013可得结论．
解答：解：∵an=logn+1（n+2）=
∴a1•a2•a3…ak=
×
×…×
=log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2．
由2n-2＜2013，得2n＜2015．解得n＜10，又n∈N*，∴n=9．
∴k∈（1，2013）内所有的“希望数”的个数是9．
故答案为：9．
| log2(n+2) |
| log2(n+1) |
∴a1•a2•a3…ak=
| log23 |
| log22 |
| log24 |
| log23 |
| log2(k+2) |
| log2(k+1) |
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2．
由2n-2＜2013，得2n＜2015．解得n＜10，又n∈N*，∴n=9．
∴k∈（1，2013）内所有的“希望数”的个数是9．
故答案为：9．
点评：本题考查新定义，考查了对数的换底公式，考查了叠乘法，训练了学生的运算能力，是中档题．
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