题目内容
已知函数f(x)=2cosx•sin(x+
)+sinx•(cosx-
sinx)
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f(C)=1，c=
，求△ABC面积的最大值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f(C)=1，c=
| 2 |
分析：（1）利用三角恒等变换公式，化简得f（x）=2sin(2x+
)．再由三角函数的周期公式和单调区间的公式解不等式，可得f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）由函数f（x）的表达式，解出C=
．利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子，结合基本不等式解出ab≤2+
．由此利用三角形的面积公式，可得当且仅当a=b=
时△ABC的面积有最大值，并可求出这个最大值．
| π |
| 3 |
（2）由函数f（x）的表达式，解出C=
| π |
| 4 |
| 2 |
2+
|
解答：解：（1）根据题意，可得
f(x)=2cosx•sin(x+
)+sinx•(cosx-
sinx)
=2cosx(
sinx+
cosx)+sinx•cosx-
sin2x
=sin2x+
cos2x=2sin(2x+
)
∴函数f（x）的最小正周期为T=
=π
令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，解得kπ+
≤x≤kπ+
（k∈Z）
即单调递减区间为[kπ+
，kπ+
](k∈Z)；（6分）
（2）由f(C)=2sin(2C+
)=1，解得sin(2C+
)=
∵C是△ABC的内角，∴2C+
=
，得C=
由余弦定理，得2=a2+b2-2ab•
≥2ab-
ab
∴ab≤
=2+
（当且仅当a=b=
时取等号）
因此，△ABC面积的最大值为S=
ab•sinC=
×(2+
)×
=
． （12分）
f(x)=2cosx•sin(x+
| π |
| 3 |
| 3 |
=2cosx(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
| π |
| 3 |
∴函数f（x）的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
即单调递减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）由f(C)=2sin(2C+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵C是△ABC的内角，∴2C+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 4 |
由余弦定理，得2=a2+b2-2ab•
| ||
| 2 |
| 2 |
∴ab≤
| 2 | ||
2-
|
| 2 |
2+
|
因此，△ABC面积的最大值为S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题给出三角函数的表达式，求函数的周期与单调区间，并依此求三角形面积的最值．着重考查了三角函数的图象与性质、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
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