Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)是奇函数．
（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)是奇函数，其定义域为R，根据定义在R上奇函数图象必过原点，可得f（0）=0，解方程可求出a值；
（2）根据（1）的结论化简函数的解析式，并任取R上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义得到答案．
（3）根据f（0）=0，f（x）是R上的增函数，可得当x＜0时，f（x）＜0，当x=0时，f（x）=0，当x＞0时，f（x）＞0，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）∵函数f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)的定义域为R
根据定义在R上奇函数图象必过原点
故f(0)=a-

2

20+1

=0
解得a=1；
证明：（2）由（1）可得f(x)=1-

2

2x+1

=

2x -1

2x +1

任取R上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)•(2x2+1)-(2x2-1)•(2x1+1)

(2x1+1)•(2x2+1)

=

(2x+x2-2x2+2x1-1)-(2x+x2+2x2-2x1-1)

(2x1+1)•(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)•(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数；
（3）由（1）（2）得，
当x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x=0时，f（x）=0，此时xf（x）=0
当x＞0时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
故xf（x）≥0恒成立

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，熟练掌握函数奇偶性的性质及单调性的证明方法步骤是解答本题的关键．