Question

用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体，如图

(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；

(2)如果AB=CD=a.求证：四边形MNPQ的周长为定值；

Answer 1

解析：(1)∵AB∥平面MNPQ.

平面ABC∩平面MNPQ=MN.

且AB平面ABC.

∴由线面平行的性质定理知，AB∥MN.

同理可得PQ∥AB.

∴由平行公理可知MN∥PQ.

同理可得MQ∥NP.

∴截面四边形MNPQ为平行四边形.

(2)∵由(1)可知MN∥AB.∴.

∵MN=λAB=λa,MC=λAC.

又∵MG∥CD,∴.

∴MQ=·CD=(1-λ)a,

∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.

∴平行四边形MNPQ的周长2(MN+MQ)=2a定值.