Question

【题目】已知如图，圆、椭圆均经过点M，圆的圆心为，椭圆的两焦点分别为.

（Ⅰ）分别求圆和椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过作直线与圆交于、两点，试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；(Ⅱ) 为定值，其值为2.

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过计算圆心和半径得圆的方程，根据计算a的值，及焦点得c即可得椭圆方程；

（Ⅱ）由直线和椭圆联立，利用韦达定理，利用坐标表示，计算即可定值.

试题解析：

（Ⅰ）依题意知圆C的半径，

∴圆C的标准方程为： ；

∵椭圆过点M，且焦点为、，

由椭圆的定义得： ，

即，

∴， ，

∴椭圆E的方程为： .

【其它解法请参照给分】

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设为，则的方程为，

由消去得：

，

显然有解，

设、，则，

．

故为定值，其值为2.