Question

17．已知f（x）=ax+xlnx（a∈R）．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得a=-1，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由题意：ax+xlnx＜x²，即a＜x-lnx，由x＞1，可得a＜x-lnx恒成立．令g（x）=x-lnx，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求导可得f′（x）=a+1+lnx，
由f′（1）=0得a+1=0，解得a=-1，
即f（x）=-x+xlnx，f′（x）=lnx，
令f′（x）＞0得x＞1；
令f′（x）＜0得0＜x＜1，
所以f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（Ⅱ）由题意：ax+xlnx＜x²，即a＜x-lnx，
∵x＞1，∴a＜x-lnx恒成立．
令g（x）=x-lnx，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
又g（1）=1，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，
∴当a≤1时，a＜g（x）恒成立，
∴a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．