Question

（本小题满分13分）

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当，且时，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，由，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减（Ⅲ）见解析

解析:

（Ⅰ）函数的定义域为，

．…………………………………………………………2分

又曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，

即．………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由于．

当时，对于，有在定义域上恒成立，

即在上是增函数．

当时，由，得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．……………………………8分

（Ⅲ）当时，   ．

令．

．………………………………10分

当时，，在单调递减．

又，所以在恒为负．

所以当时，．

即．

故当，且时，成立．………………………………13分