Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c，f（2）=

2

3

，f′（2）=4，g（2）=1，g′（2）=3
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a=1时，函数h（x）=

f(x)+ 1 3

g(x)

在点（2，h（2））处的切线能否与函数f（x）的图象相切？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f^′（2）=4即可得到b=-4a，进而得到f^′（x）=x²+2ax-4a，通过对其△与0 的关系分类讨论即可得出单调性；
（2）利用导数的几何意义即可得出切线的方程；再求出切点坐标，比较函数值即可．

解答：解：（1）∵f^′（2）=4，f^′（x）=x²+2ax+b，∴2²+4a+b=4，解得b=-4a，
∴f^′（x）=x²+2ax-4a，△=4a²+16a=4（a²+4a）．
当△＞0时，即a＞0或a＜-4时，x_1，2=-a±

a2+4a

，函数f（x）的单调增区间：(-∞，-a-

a2+4a

)，(-a+

a2+4a

，+∞)．
当△≤0时，即-4≤a≤4时，f^′（x）≥0，函数f（x）的单调增区间：（-∞，+∞）．
（2）∵h(2)=

f(2)+ 1 3

g(2)

=

2 3 + 1 3

1

=1，即切点为（2，1）．
由h′(x)=

f′(x)g(x)-[f(x)+ 1 3 ]•g′(x)

g2(x)

，得h′(2)=

f′(2)g(2)-[f(2)+ 1 3 ]•g′(2)

g2(2)

=1，
所以，曲线h（x）在点（2，1）处的切线方程y=x-1．
当a=1时，b=-4．
由f(2)=

2

3

，∴

8

3

+4a+2b+c=

2

3

，得c=2，
∴f（x）=

1

3

x3+x2-4x+2，f^′（x）=x²+2x-4．
当f^′（x）=x²+2x-4=1，x²+2x-5=0，∴x=-1±

6

．
当x=-1±

6

时，f(x)=

20

3

±3

6

．
而x=-1±

6

，y=x-1=-2±

6

≠

20

3

±3

6

．
所以函数h(x)=

f(x)+ 1 3

g(x)

在点（2，h（2））处的切线不能与函数f（x）图象相切．

点评：本题综合考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性、“三个二次”的关系、切线方程等基础知识与方法．