Question

已知直线l与圆C相交于点P（1，0）和点Q（0，1）．
（1）求圆心C所在的直线方程；
（2）若圆心C的半径为1，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）由P和Q的坐标写出直线PQ的方程，找出此方程的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，找出圆心所在直线方程的斜率，再根据中点坐标公式求出线段PQ的中点M的坐标，由M坐标和求出的斜率写出圆心C所在的直线方程即可；
（2）设圆心坐标为（a，b），由半径为1，写出圆的标准方程，把P和Q的坐标代入即可确定出a与b的值，从而得到圆C的方程．

解答：解：（1）PQ的方程为：y=

1-0

0-1

（x-1），即x+y-1=0．（2分）
PQ中点M（

1

2

，

1

2

），k_PQ=-1，
所以圆心C所在的直线方程：y=x．（3分）
（2）由条件设圆的方程为：（x-a）²+（ y-b）²=1，
由圆过P，Q点得：

(1-a)2+b2=1 a2+(b-1)2=1

，
解得

a=0 b=0

或

a=1 b=1

所以圆C方程为：x²+y²=1或x²+y²-2x-2y+1=0．（5分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆标准方程的确定，要求学生掌握垂径定理即弦的垂直平分线一定过圆心，两直线垂直时斜率满足的关系，以及会利用待定系数法确定圆的方程．