Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

Answer 1

证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）
（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，
则∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得AN=

2

．
在Rt△AMN中，AM=

AN

tan∠AMN

=

2

•

3

3

=

6

3

．
在Rt△CNM中，tan∠MCN=

MN

CN

=

MN

CN

=

6 3

1

=

6

3

故二面角M-AC-B的正切值为

6

3

．（5分）