Question

已知抛物线y²=4x的焦点F是等腰直角△ABF的直角顶点，A，B在抛物线上，
（1）求证：A，B关于x轴对称；
（2）求△ABF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y²=4x的焦点F是等腰直角△ABF的直角顶点，可得|AF|=|BF|，由此可得结论；
（2）求出A的坐标，即可求得三角形的面积．

解答：（1）证明：∵抛物线y²=4x的焦点F是等腰直角△ABF的直角顶点，
∴|AF|=|BF|
∴A、B到准线的距离相等
∴A、B两点的横坐标相等
∴A、B两点的纵坐标相反
∴A、B关于x轴对称；
（2）解：由题意，设A（x，y），则|y|=|x-1|
∵y²=4x，∴|x-1|²=4x
∴x²-6x+1=0
∴x=3±2

2

x=3+2

2

时，|y|=2+2

2

，∴△ABF的面积为（2+2

2

）²=12+8

2

；
x=3-2

2

时，|y|=2

2

-2，∴△ABF的面积为（2

2

-2）²=12-8

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．