Question

已知曲线C满足方程=|1+ax|(a＞0为常数).

(1)判断曲线的形状;

(2)若直线l：y=x+a交曲线C于点P、Q，线段PQ中点的横坐标为-，试问在曲线C上是否存在不同的两点A，B关于直线l对称?

 

Answer 1

解：(1)∵=|1+ax|,

∴(x+a)²+y²=(1+ax)².

∴(1-a²)x²+y²=1-a².

∴当0＜a＜1时，表示焦点在x轴上的椭圆；

当a=1时，表示x轴所在的直线；

当a＞1时，表示焦点在x轴上的双曲线.

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，联立方程：得(2-a²)x²+2ax+2a²-1=0.

设(2-a²)x²+2ax+2a²-1=0的两根为x₁，x₂，

∴                                                   

由题意=-，a＞0，取a=3，则曲线C：x²-=1..l:y=x+3

假设曲线C上存在A（x_3，y₃）B(x₄,y₄)关于l对称，设AB的中点M（x₀,y₀）,由点差法，可得AB的斜率k_AB=,又y₀=x₀+3, ∴M().∴AB:y+, 代入曲线C：x^2-有△＞0，∴曲线C上存在不同的两点A、B关于直线l对称。