Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数可得f'（0）•f'（1）＜0，再证明f'（x）在区间[0，1]上存在唯一零点，即可得f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极小值点；取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算即可；
（Ⅱ）由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分离参数可得a≤

ex+2x2-3x

x

，求出右边函数的最小值，即可求得a的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：求导函数可得f'（x）=e^x+4x-3，…1分
∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f'（0）•f'（1）＜0． …3分
令 h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，则h'（x）=e^x+4＞0，…4分
∴f'（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f'（x）在区间[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极小值点． …6分
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）＜0，
∴极值点所在区间是[0，0.5]；
又f'（0.3）≈-0.5＜0，∴极值点所在区间是[0.3，0.5]；
∵|0.5-0.3|=0.2，
∴区间[0.3，0.5]内任意一点即为所求． …9分
（Ⅱ）解：由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵x≥1，∴a≤

ex+2x2-3x

x

，…10分
令 g(x)=

ex+2x2-3x

x

，则g′(x)=

(x-1)ex+2x2

x2

，…11分
∵x≥1，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g_min（x）=g（1）=e-1，
∴a的取值范围是a≤e-1．　　…13分

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查二分法，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值时关键．