Question

函数y=f（x）满足：①定义域为R；②任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=2cos

π

2

x，那么当x∈[-3，-1]时，y的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由x∈[-3，-1]可得x+2∈[-1，1]，根据已知条件求得f（x+2）的解析式，再由 f（x+2）=2f（x）求得 f（x）=-cos

π

2

x．由于-

3π

2

≤

π

2

x≤-

π

2

，再根据
余弦函数的定义域和值域，求得故当x∈[-3，-1]时，y的取值范围．

解答：解：当x∈[-3，-1]时，x+2∈[-1，1]，∴f（x+2）=2cos

π

2

(x+2)=-2cos

π

2

x．
再由 f（x+2）=2f（x）；可得 2f（x）=-2cos

π

2

x，∴f（x）=-cos

π

2

x．
由于-

3π

2

≤

π

2

x≤-

π

2

，故-1≤cos

π

2

x≤0，∴0≤-cos

π

2

x≤1，
故当x∈[-3，-1]时，y的取值范围是[0，1]，
故答案为[0，1]．

点评：本题主要考查余弦函数的周期性、定义域和值域，以及诱导公式的应用，属于中档题．