题目内容

在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 $数学公式$ =

A.
2
B.
4
C.
5
D.
10

D
分析：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|²+|PB|²和|PC|²的值，即可求出 $\text{[math]}$ 的值．
解答：

以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（-r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（ $\text{[math]}$ rcosα， $\text{[math]}$ rsinα）
∴|PA|²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +r²cosα，
|PB|²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -r²cosα，
可得|PA|²+|PB|²= $\text{[math]}$ r²
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ r²所以： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10
故选D
点评：本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．