Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求得函数f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），由

x+1＞0 1-x＞0

求得函数的定义域．
（Ⅱ）由于函数f（x）+g（x）的定义域关于原点对称，且满足f（-x）+g（-x）=f（x）+g（x），可得f（x）+g（x）为偶函数．
（Ⅲ）f（x）+g（x）＜0 等价于log_a（-x+1）（1+x）＜0．再分当a＞1时、当 0＜a＜1两种情况，分别求得使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=log_a（x+1）（1-x），
由

x+1＞0 1-x＞0

解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于函数f（x）+g（x）=log_a（x+1）（1-x）的定义域关于原点对称，
且满足f（-x）+g（-x）=log_a（-x+1）（1+x）=f（x）+g（x），
故f（x）+g（x）为偶函数．
（Ⅲ）f（x）+g（x）＜0 等价于log_a（-x+1）（1+x）＜0．
当a＞1时，f（x）+g（x）＜0，等价于 0＜（-x+1）（1+x）＜1，
等价于

(-x+1)(1+x)＜1 (-x+1)(1+x)＞0

，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，
即使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为（-1，0）∪（0，1）．
当 0＜a＜1时，f（x）+g（x）＜0 等价于（-x+1）（1+x）＞1，
化简可得x²＜0，故x不存在，
即使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为∅．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，一元二次不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．