Question

已知函数，其中是 的导函数。

（1）若在处的导数为4，求实数的值；

（2）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；

（3）当时，函数的图象与直线只有一个公共点，

求实数的取值范围。

Answer 1

解：(1) ,

    ,;  …………(2分)

(2) ，令，

对满足的一切的值，都有,即 对于 都有;

上述条件等价于在上;  ………(4分)

 明显的,当时,不满足条件;

 当时, 在上上单调递增,

   则,解得:,

   所以 ;

 当时, 在上上单调递减,

   则,解得: ,

   所以不存在；

 综上所得，实数的取值范围是;    ……(8分)

（3）,   ,,

令,解得:,

     令,解得: ;

   在上单调增,在上单调减, ……(10分)

要使得函数的图象与直线只有一个公共点,

只要满足：，即……(13分)

     ……(14分)