Question

设max{sinx，cosx}表示sinx与cosx中的较大者．若函数f（x）=max{sinx，cosx}，给出下列五个结论：
①当且仅当x=2kπ+π（π∈Z）时，f（x）取得最小值；
②f（x）是周期函数；
③f（x）的值域是[-1，1]；
④当且仅当＜x＜2kx+

3π

2

（k∈Z）时，f（x）＜0；
⑤f（x）以直线x=kx+

π

4

（k∈Z）为对称轴．
其中正确结论的序号为

②④⑤

．

Answer 1

分析：先作出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象得出相应的结论．
①观察图象的最低点，求出最小值．
②结合图象观察图象的重复性，进而判断周期性．
③利用函数的最大值与最小值，确定函数的值域．
④解不等式f（x）＜0，得对应的解集．
⑤观察图象，利用推理得出函数的对称轴．

解答：
解：由定义可知，当sinx≥cosx时，解得
-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z
．当sinx＜cosx时，解得

π

4

+2kπ＜x＜

5π

4

+2kπ，k∈Z．
作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图：取函数的最大值，即为函数f（x）=max{sinx，cosx}，
A．由图象可知，当x=2kπ+

5π

4

（k∈Z）时，f（x）取得最小值，所以①错误．

②函数以2π为周期的周期函数，所以②正确．
③由①知函数的最小值为-

2

2

，所以f（x）的值域是[-

2

2

，1]，所以③错误．
④由f（x）＜0，解得2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），所以④正确．
⑤f（x）的对称轴为x=2kπ+

5π

4

或x=2kπ+

π

4

，即x=kx+

π

4

（k∈Z），所以⑤正确．
正确结论的序号为②④⑤．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查学生理解信息的能力，利用数学结合是解决本题的关键．