Question

如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．
求：（1）

PM

与

FQ

所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，求出

PM

与

FQ

的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量所成的角；
（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，根据条件建立方程组，求出n，设所求距离为d，利用d=|

PE

•n|进行求解即可．

解答：解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（

a

2

，0，

a

2

）、
Q（

a

2

，

a

2

，0）．
（1）∴

PM

=（-

a

2

，0，

a

2

），

FQ

=（

a

2

，-

a

2

，-a），

PM

•

FQ

=（-

a

2

）×

a

2

+0+

a

2

×（-a）=-

3

4

a²，且|

PM

|=

2

2

a，|

FQ

|=

6

2

a．
∴cos＜

PM

，

FQ

＞=

PM • FQ

| PM || FQ |

=

- 3 4 a2

2 2 a× 6 2 a

=-

3

2

．
故得两向量所成的角为150°．
（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1，n⊥平面EFB，
∴n⊥

EF

，n⊥

BE

．又

EF

=（-a，a，0），

EB

=（0，a，-a），即有

x2+y2+z2=1 -ax+ay=0 ay-az=0.

得其中的一组解

x= 3 3 y= 3 3 z= 3 3 .

，
∴n=（

3

3

，

3

3

，

3

3

），

PE

=（

a

2

，0，

a

2

）．
设所求距离为d，则d=|

PE

•n|=

3

3

a．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．