题目内容

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且 $数学公式$ ．
（1）证明：sin2A=sin2B；
（2）若a=3，b=4，求 $数学公式$ 的值；
（3）若C=60°，△ABC的面积为 $数学公式$ ，求 $数学公式$ • $数学公式$ + $数学公式$ • $数学公式$ + $数学公式$ • $数学公式$ 的值．

解：（1）证明：由 $\text{[math]}$ =tanAcotB
得sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
（2）解：由上题知sin2A=sin2B及a≠b
得2A+2B=π
∴A+B= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =9+16
∴ $\text{[math]}$
（3）由（1）知A=B或A+B= $\text{[math]}$ 又∵C= $\text{[math]}$
∴A=B=C= $\text{[math]}$ 即△ABC为等边三角形
又 $\text{[math]}$ ∴a²=4，a=2
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =3×2×2cos $\text{[math]}$ =-6
分析：（1）利用正弦定理把题设中的等式的边转化成角的正弦，化简整理，利用二倍角公式求得sin2A=sin2B，原式得证．
（2）由（1）中的结论可推断出A+B= $\text{[math]}$ ，进而利用勾股定理求得c，进而利用向量的运算法则求得 $\text{[math]}$ 的值．
（3）由（1）中的结论可推断出A=B或A+B= $\text{[math]}$ ，进而根据C= $\text{[math]}$ 推断出△ABC为等边三角形，进而利用三角形面积公式求得a的值，进而根据平面向量数量积的运算求得答案．
点评：本题主要考查了正弦定理的应用，平面向量的基本运算．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．