Question

四棱锥P—ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB,M为PC的中点.

(1)求证:BM∥平面PAD.

(2)面PAD内是否存在一点N,使MN⊥面PBD?若存在,指出该点的具体位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明：取PD中点E,连结ME、AE.

∵M为PC中点,∴MECD.

    又∵CD2AB,∴MEAB.∴ABME为平行四边形.∴BM∥AE.

    又∵AE面PAD,BM在面PAD外,∴BM∥平面PAD.

(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系.

    设AB=1,N(0,y,z).

    则P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),B(1,0,0),D(0,2,0).

=(-1,y-1,z-1),=(1,0,-2),=(0,2,-2).

∵MN⊥平面PBD,

∴·=0, ·=0.

解得

    故N(0,,).

∴存在点N(0,,)使MN⊥平面PBD.