Question

是否存在锐角α和β,使得(1)α+2β=,(2)tantanβ=2-同时成立?若存在,则求出α、β的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：由(1)得+β=,

∴tan(+β)==.

将(2)代入上式得tan+tanβ=3-.

因此,tan与tanβ是一元二次方程x²-(3-)x+(2-)=0的两根,

解之,得x₁=1,x₂=2-.

若tan=1,

∵α为锐角,∴0＜＜.

∴这样的α不存在.

∴只能是tan=2-,tanβ=1.

由于α、β均为锐角,

∴α=,β=.

故存在α=,β=使(1)(2)式同时成立.