Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值．

Answer 1

分析：由f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，知f（x+4）=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

．所以f（x+8）=-

1

f(x+4)

=f(x)．所以f（x）是以8为周期的周期函数，由此能求出f（2001）．

解答：解：∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（x）≠1，
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，
f（x+4）=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

．
所以f（x+8）=-

1

f(x+4)

=f(x)．
所以f（x）是以8为周期的周期函数，
∵f（1）=1997，2001=8×250+1，
∴f（2001）=f（1）=1997．

点评：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．